March 31, 2016

Bipartite Graph Formulation of Circulant Matrix

funes matlab
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
octave:1> size = 12
size =  12
 
octave:2> I = eye(size)
I =
 
Diagonal Matrix
 
   1   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
   0   1   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
   0   0   1   0   0   0   0   0   0   0   0   0
   0   0   0   1   0   0   0   0   0   0   0   0
   0   0   0   0   1   0   0   0   0   0   0   0
   0   0   0   0   0   1   0   0   0   0   0   0
   0   0   0   0   0   0   1   0   0   0   0   0
   0   0   0   0   0   0   0   1   0   0   0   0
   0   0   0   0   0   0   0   0   1   0   0   0
   0   0   0   0   0   0   0   0   0   1   0   0
   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   1   0
   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   1
 
octave:3> A = [I(12,:) ; I(1:11,:)] % downshift permutation
A =
 
   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   1
   1   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
   0   1   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
   0   0   1   0   0   0   0   0   0   0   0   0
   0   0   0   1   0   0   0   0   0   0   0   0
   0   0   0   0   1   0   0   0   0   0   0   0
   0   0   0   0   0   1   0   0   0   0   0   0
   0   0   0   0   0   0   1   0   0   0   0   0
   0   0   0   0   0   0   0   1   0   0   0   0
   0   0   0   0   0   0   0   0   1   0   0   0
   0   0   0   0   0   0   0   0   0   1   0   0
   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   1   0
 
octave:4> Z = zeros(size, size);
 
octave:5> G = [Z, A; A', Z];
 
octave:6> eig(G)
ans =
 
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
 
octave:7> eig([Z, A*A; (A*A)', Z])
ans =
 
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
 
octave:8> eig([Z, A*A*A; (A*A*A)', Z])
ans =
 
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
 
octave:9> eig([Z, eye(12); eye(12)', Z])
ans =
 
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
  -1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
   1
, , ,
Comments Off on Bipartite Graph Formulation of Circulant Matrix
August 25, 2015

Downshift and Upshift Matrix

funes matlab
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
% test matrix
>> A = [1 2 3 4 5;
 6 7 8 9 10;
 11 12 13 14 15;
 16 17 18 19 20;
 21 22 23 24 25]
 
A =
 
    1    2    3    4    5
    6    7    8    9   10
   11   12   13   14   15
   16   17   18   19   20
   21   22   23   24   25
 
% downshift matrix
>> D = [0 0 0 0 1; 1 0 0 0 0; 0 1 0 0 0; 0 0 1 0 0; 0 0 0 1 0]
D =
 
   0   0   0   0   1
   1   0   0   0   0
   0   1   0   0   0
   0   0   1   0   0
   0   0   0   1   0
 
% downshift test
>> D*A
ans =
 
   21   22   23   24   25
    1    2    3    4    5
    6    7    8    9   10
   11   12   13   14   15
   16   17   18   19   20
 
% downshift twice
>>  D*D*A
ans =
 
   16   17   18   19   20
   21   22   23   24   25
    1    2    3    4    5
    6    7    8    9   10
   11   12   13   14   15
 
% the trace of downshift is merely upshift
>>  D'
ans =
 
   0   1   0   0   0
   0   0   1   0   0
   0   0   0   1   0
   0   0   0   0   1
   1   0   0   0   0
 
% which can be verified as follows:
>> A, D'*A
A =
 
    1    2    3    4    5
    6    7    8    9   10
   11   12   13   14   15
   16   17   18   19   20
   21   22   23   24   25
 
ans =
 
    6    7    8    9   10
   11   12   13   14   15
   16   17   18   19   20
   21   22   23   24   25
    1    2    3    4    5
 
% putting the input matrix to the left of the downshift matrix.
% then it became a left-shift operation.
>> A*D
ans =
 
    2    3    4    5    1
    7    8    9   10    6
   12   13   14   15   11
   17   18   19   20   16
   22   23   24   25   21
 
%% Combining together, D'*A*D is down-and-left shift.
>> D'*A*D
A =
 
    1    2    3    4    5
    6    7    8    9   10
   11   12   13   14   15
   16   17   18   19   20
   21   22   23   24   25
 
ans =
 
    7    8    9   10    6
   12   13   14   15   11
   17   18   19   20   16
   22   23   24   25   21
    2    3    4    5    1
, ,
Comments Off on Downshift and Upshift Matrix
July 19, 2015

Lifts, eigenvalues and Hadamard matrices

funes matlab
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
% positive part
>> P=[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0;
1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1;
1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0;
1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1;
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1;
1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1;
1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0;
1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0;
1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0;
1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1;
1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0;
1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1];
 
% negative part
>> N = [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0;
0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1;
0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0;
0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0;
0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0;
0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1;
0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1;
0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1;
0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0;
0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1;
0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0];
 
% zero matrix
>> Z = zeros(size(N)(1));
 
% an signed adjacency matrix of a complete bipartite graph
>> H = [Z, P-N; P'-N', Z];
 
% eigenvalues of a signed adjacency matrix
>> eig(H)
ans =
 
  -3.4641
  -3.4641
  -3.4641
  -3.4641
  -3.4641
  -3.4641
  -3.4641
  -3.4641
  -3.4641
  -3.4641
  -3.4641
  -3.4641
   3.4641
   3.4641
   3.4641
   3.4641
   3.4641
   3.4641
   3.4641
   3.4641
   3.4641
   3.4641
   3.4641
   3.4641
 
% check that it's a sqrt(12)
>> 3.4641^2
ans =  12.000
 
% the leading principal sub-matrix of size 12
>> A12 = eig(H(1:12, 1:12)), size(A12)
A12 =
 
   0
   0
   0
   0
   0
   0
   0
   0
   0
   0
   0
   0
 
ans =
 
   12    1
 
% the leading principal sub-matrix of size 13
>> A13 = eig(H(1:13, 1:13)), size(A13)
A13 =
 
  -3.46410
   0.00000
   0.00000
   0.00000
   0.00000
   0.00000
   0.00000
   0.00000
   0.00000
   0.00000
   0.00000
   0.00000
   3.46410
 
ans =
 
   13    1
 
% the leading principal sub-matrix of size 14
>> A14 = eig(H(1:14, 1:14)), size(A14)
A14 =
 
  -3.4641e+00
  -3.4641e+00
  -2.2869e-16
  -5.1835e-17
  -3.1072e-32
  -9.8437e-33
  -9.1270e-34
  -1.6678e-48
   6.7204e-34
   2.6380e-33
   5.5511e-17
   1.0011e-16
   3.4641e+00
   3.4641e+00
 
ans =
 
   14    1
 
% the leading principal sub-matrix of size 15
>> A15 = eig(H(1:15, 1:15)), size(A15)
A15 =
 
  -3.4641e+00
  -3.4641e+00
  -3.4641e+00
  -1.2569e-16
  -5.2487e-17
  -2.7846e-17
   8.3967e-19
   2.9178e-17
   1.3011e-16
   2.6577e-16
   6.1994e-16
   7.9764e-16
   3.4641e+00
   3.4641e+00
   3.4641e+00
 
ans =
 
   15    1
 
% the leading principal sub-matrix of size 16
>> A16 = eig(H(1:16, 1:16)), size(A16)
A16 =
 
  -3.4641e+00
  -3.4641e+00
  -3.4641e+00
  -3.4641e+00
  -4.8088e-16
  -3.2142e-16
  -1.4036e-16
   1.4234e-17
   1.1284e-16
   2.6229e-16
   4.1426e-16
   4.6066e-16
   3.4641e+00
   3.4641e+00
   3.4641e+00
   3.4641e+00
 
ans =
 
   16    1
, ,
Comments Off on Lifts, eigenvalues and Hadamard matrices
August 25, 2014

Spectrum of Hadamard Graphs

funes matlab
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
>> A=[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0;
1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1;
1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0;
1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1;
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1;
1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1;
1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0;
1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0;
1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0;
1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1;
1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0;
1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1];
 
>> B = [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;
0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0;
0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1;
0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0;
0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0;
0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0;
0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1;
0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1;
0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1;
0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0;
0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1;
0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0;]
 
>> G = [Z A Z B;A' Z B' Z;Z B Z A;B' Z A' Z];
 
>> eig(G)
 
ans =
 
  -12.0000
   -3.4641
   -3.4641
   -3.4641
   -3.4641
   -3.4641
   -3.4641
   -3.4641
   -3.4641
   -3.4641
   -3.4641
   -3.4641
   -3.4641
   -0.0000
   -0.0000
   -0.0000
   -0.0000
   -0.0000
   -0.0000
   -0.0000
   -0.0000
   -0.0000
   -0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    3.4641
    3.4641
    3.4641
    3.4641
    3.4641
    3.4641
    3.4641
    3.4641
    3.4641
    3.4641
    3.4641
    3.4641
   12.0000
 
>> % 3.4641^2 = 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
>> A = [1 1 1 1; 1 1 0 0;1 0 1 0; 1 0 0 1];
>> B = [0 0 0 0; 0 0 1 1;0 1 0 1; 0 1 1 0];
 
>> (A-B)*(A-B)'
 
ans =
 
     4     0     0     0
     0     4     0     0
     0     0     4     0
     0     0     0     4
 
>> >> G = [Z A Z B;A' Z B' Z;Z B Z A;B' Z A' Z];
 
>> eig(G)
 
ans =
 
   -4.0000
   -2.0000
   -2.0000
   -2.0000
   -2.0000
   -0.0000
   -0.0000
   -0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    2.0000
    2.0000
    2.0000
    2.0000
    4.0000
,
Comments Off on Spectrum of Hadamard Graphs